题目内容

【题目】如图,边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点A′,连接EF,A′B.

(1)求证:A′D⊥EF;
(2)求二面角A′﹣EF﹣D的余弦值.

【答案】
(1)证明:在正方形ABCD中,有AD⊥AE,CD⊥CF

则A'D⊥A'E,A'D⊥A'F

又A'E∩A'F=A'

∴A'D⊥平面A'EF

而EF平面A'EF,∴A'D⊥EF


(2)方法一:连接BD交EF于点G,连接A'G

∵在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,

∴BE=BF,DE=DF,

∴点G为EF的中点,

且BD⊥EF

∵正方形ABCD的边长为2,∴A'E=A'F=1,∴A'G⊥EF

∴∠A'GD为二面角A'﹣EF﹣D的平面角

由(1)可得A'D⊥A'G,

∴△A'DG为直角三角形

∵正方形ABCD的边长为2,

又A'D=2

∴二面角A'﹣EF﹣D的余弦值为

方法二:∵正方形ABCD的边长为2,点E是AB的中点,点F是BC的中点,

∴BE=BF=A'E=A'F=1,

∴A'E2+A'F2=EF2,∴A'E⊥A'F

由(1)得A'D⊥平面A'EF,

∴分别以A'E,A'F,A'D为x,y,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系A'﹣xyz,

则A'(0,0,0),E(1,0,0),F(0,1,0),D(0,0,2)

设平面DEF的一个法向量为 ,则由

可取

又平面A'EF的一个法向量可取

∴二面角A'﹣EF﹣D的余弦值为


【解析】(1)根据平面图形折叠后的不变量可得A'D⊥A'E,A'D⊥A'F,然后利用线面垂直的判定得到线面垂直,从而得到线线垂直;(2)由题意可得BE=BF,DE=DF,连结BD交EF于点G,连接A'G,则可证明∠A'GD为二面角A'﹣EF﹣D的平面角,然后利用解直角三角形即可得到答案.
【考点精析】利用直线与平面垂直的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知垂直于同一个平面的两条直线平行.

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