Question

若f(x)=

3

cos2ax-sinaxcosax (a＞0)的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求a和m的值；
（2）△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若(

A

2

 ， 

3

2

)是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

分析：（1）将f（x）解析式两项分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由周期为π，利用周期公式求出a的值，确定出函数解析式，再由正弦函数的图象与性质确定出f（x）的值域，确定出f（x）的最大值，即为m的值；
（2）由（

A

2

，

3

2

）是函数f（x）图象的一个对称中心，将此点代入f（x）解析式中得到sin（A-

π

3

）=0，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出sinA的值，由a与sinA的值，利用正弦定理求出三角形ABC外接圆的半径，即可求出外接圆的面积．

解答：解：（1）f（x）=

3

cos²ax-sinaxcosax=

3

2

（cos2ax+1）-

1

2

sin2ax=

3

2

-sin（2ax-

π

3

），
由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m＞0，

3

2

-1＜0，
∵-1≤sin（2ax-

π

3

）≤1，
∴

3

2

-1≤f（x）≤

3

2

+1，
∴a=1，m=

3

2

+1；
（2）∵（

A

2

，

3

2

）是函数f（x）图象的一个对称中心，
∴sin（A-

π

3

）=0，
∵A为△ABC的内角，∴A=

π

3

，
△ABC中，设外接圆半径为R，由正弦定理得：2R=

a

sinA

=

4

sin π 3

=

8 3

3

，即R=

4 3

3

，
则△ABC的外接圆面积S=πR²=

16π

3

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．