题目内容

已知f(x)=3cos(x+
2
)+cos(x-
2
)+sin(x+π)+a
(a∈R,a为常数).
(1)若f(x)为奇函数,求a的值;
(2)若x∈R,求f(x)的最小正周期;
(3)若x∈[0,
π
2
]
时,f(x)的最大值为4,求a的值.
分析:(1)利用诱导公式化简函数,利用奇函数的定义,可求a的值;
(2)根据周期公式,可求f(x)的最小正周期;
(3)利用正弦函数的性质,确定x∈[0,
π
2
]
时,f(x)的最大值,即可求a的值.
解答:解:(1)f(x)=3cos(x+
2
)+cos(x-
2
)+sin(x+π)+a
=3sinx-sinx-sinx+a=sinx+a
∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)
∴sin(-x)+a=-sinx-a,∴a=0;
(2)T=2π;
(3)∵x∈[0,
π
2
]
,∴sinx∈[0,1]
∴f(x)的最大值为1+a
∵f(x)的最大值为4,
∴1+a=4,∴a=3.
点评:本题考查三角函数的化简,考查函数的奇偶性,考查学生的计算能力,属于基础题.
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