题目内容

已知函数 $数学公式$ （a＞0且a≠1），设函数 $数学公式$ ．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求g（x）+g（1-x）及 $数学公式$ 的值；
（3）是否存在正整数a，使不等式 $数学公式$ 对一切n∈N^*都成立，若存在，求出正整数a的最小值；不存在，说明理由；
（4）结合本题加以推广：设F（x）是R上的奇函数，请你写出一个函数G（x）的解析式；并根据第（2）小题的结论，猜测函数G（x）满足的一般性结论．

解：（1）任取x∈R，于是 $\text{[math]}$ ，所以f（x）是奇函数． …
（2）由（1）知f（0）=0，所以 $\text{[math]}$ ，…
$\text{[math]}$ ．… $\text{[math]}$ ．
（3）假设存在正整数a，使 $\text{[math]}$ 对一切n∈N^*都成立．
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．…
当a=1和a=2时，不等式aⁿ＞n²显然不成立．…
猜想当a≥3时，aⁿ≥3ⁿ＞n²．…
下面证明3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立：
①当n=1时，显然3＞1．
②当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+2C_n¹+4C_n²+…+C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n+2n（n-1）=2n²+1＞n²成立．
则3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整数a=3．…
证法二：
①当n=1时，3＞1，当n=2时，9＞4，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时，3^k＞k²，
则当n=k+1时，3^k+1=3×3^k＞3k²=k²+k²+k²＞k²+2k+1=（k+1）²，不等式也成立．…
则3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整数a=3．…
（4）如设F（x）=x³，G（x）=（x-a）³+b等均可．…
则函数G（x）满足的一般性结论为G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．…
形如设G（x）=F（x-a）+b．G（x）满足的性质为：G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．
或 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 等…
分析：（1）本小题中的由奇函数的定义可知，只须验证f（-x）=-f（x），由此即可得到正确答案；
（2）由（1）知f（0）=0，所以 $\text{[math]}$ 以及g（x）+g（1-x）=2，从而求得 $\text{[math]}$ 的值；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在正整数a，使 $\text{[math]}$ 对一切n∈N^*都成立，再利用二项式定理（解法一）或者数学归纳法（解法二）进行证明，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（4）如设F（x）=x³，G（x）=（x-a）³+b等均可，则函数G（x）满足的一般性结论为G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b等．
点评：本题考查函数奇偶性的性质、指数函数综合题、二项式定理或者数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查归与转化思想．属于基础题．