题目内容
已知中心在原点的双曲线
的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
。
（1）求双曲线的方程；
（2）若以
为斜率的直线
与双曲线相交于两个不同的点
，且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的取值范围。
（1）
；(2)的取值范围是
解析试题分析：（1）本题较易，注意利用已知条件建立方程组
解得
，
即得所求.
（2）从确定三角形的面积表达式入手，建立的不等式
.通过设直线的方程为
，建立方程组
并整理，建立
的不等关系；
由根与系数的关系可知线段的中点坐标
满足
，
，
得到线段的垂直平分线的方程为
，
求得此直线与
轴，
轴的交点坐标分别为
，
，
从而利用
，整理得
，
，
将上式代入的不等关系式，得到的不等式.
试题解析：（1）设双曲线的方程为
，
由题设得解得，
所以双曲线方程为.
（2）设直线的方程为，点
的坐标满足方程组，整理得
，此方程有两个不等实根，
于是
且
，
整理得
......③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，，
从而线段的垂直平分线的方程为
，
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，，
由题设可得，整理得，，
将上式代入③式得
，
整理得
，，解得
或
，
所以的取值范围是
考点：双曲线的标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积公式.
练习册系列答案
金博士一点全通系列答案
相关题目
轴上，焦距为2，离心率为
经过点
（0,1），且与椭圆C交于
两点，若
，求直线
的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
．
的方程；
与椭圆
、
两点． ①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；②若点
，求证：
为定值．
的焦点为
，过点
交抛物线
于
、
两点，经过
、
，切线
.
在第二象限，且到准线距离为
时，求
；
.
：
的左、右焦点分别是
、
，下顶点为
，线段
的中点为
（
为坐标原点），如图.若抛物线
：
与
轴的交点为
，
为抛物线
、
两点，求
面积的最大值．
中，已知圆
和圆
.
过点
，且被圆
截得的弦长为
，求直线
为平面上的点，满足：存在过点
和
，它们分别与圆
相交，且直线
以椭圆
的两个焦点为焦点,且双曲线
，
与双曲线
,且
为圆心的圆上,求实数
的取值范围.
，焦点在
轴上，若右焦点到直线
的距离为3.
与椭圆相交于不同的两点
、
，当
时，求
的取值范围.
的两个焦点
和上下两个顶点
是一个边长为2且∠F1B1F2为
的菱形的四个顶点.
的方程；
（
）的直线
与椭圆
两点，A为椭圆的右顶点，直线
、
分别交直线
于点
、
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
.求证:
为定值.