Question

 (本小题满分12分) 设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．

（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；

（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）解：由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．

    令y=0得即，则F₁(-1，0)，F₂（1，0），故c=1．

所以．于是椭圆C₁的方程为：．…………4分

  （Ⅱ）设N（），由于知直线PQ的方程为：

． 即．……………………………5分

代入椭圆方程整理得：,  

=,

 , ,

故

       ．………………………………7分

设点M到直线PQ的距离为d，则．…………………9分

所以，的面积S

 …………11分

当时取到“=”，经检验此时，满足题意．

综上可知，的面积的最大值为．…………………………12分