Question

已知a，b为实数，若函数f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx在区间（a，b）上均为减函数，则b-a的最大值为

1

3

．

Answer 1

分析：“函数f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx在区间（a，b）上为减函数”等价于“f′（x）≤0，g′（x）≤0在（a，b）上恒成立”，从而可求出a，b的取值范围，即可求出b-a的最大值．

解答：解：∵函数f（x）=x³+ax在区间（a，b）上为减函数，
∴f′（x）=3x²+a≤0在（a，b）上恒成立，
∴

f′(a)=3a2+a≤0 f′(b)=3b2+a≤0

，解得

- 1 3 ≤a≤0 3b2≤-a

，①
∵函数g（x）=x²+bx在区间（a，b）上为减函数，
∴g′（x）=2x+b≤0在（a，b）上恒成立，
即g′（b）=2b+b=3b≤0，②
由①②可得-

- a 3

≤b≤0，0≤-a≤

1

3

，
又∵a＜b，
∴0＜a-b≤

1

3

，即b-a的最大值为

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查了函数单调性的性质，以及利用导数研究函数的单调性和恒成立问题，同时考查了分析问题的能力．对于常见的基本初等函数的单调性要熟练掌握．属于中档题．