Question

设f（x）=e^x-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）是否存在正整数a．使得对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=e^x-a（x+1），知f′（x）=e^x-a，故f（x）_min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，再由f（x）≥0对一切x∈R恒成立，能a_max．
（2）由f（x）=e^x-a（x+1），知g（x）=f（x）+=．由a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，知g′（x）=e^x--a≥2-a=-a+2=m，（a≤-1），由此能求出实数m的取值范围．
（3）设t（x）=e^x-x-1，则t′（x）=e^x-1，从而得到e^x≥x+1，取，用累加法得到．由此能够推导出存在正整数a=2．使得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜•（an）ⁿ．
解答：解：（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴f′（x）=e^x-a，
∵a＞0，f′（x）=e^x-a=0的解为x=lna．
∴f（x）_min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，
∴alna≤0，
∴a_max=1．
（2）∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴g（x）=f（x）+=．
∵a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，
∴g′（x）=e^x--a≥2-a=-a+2=m，（a≤-1），
解得m≤3，
∴实数m的取值范围是（-∞，3]．
（3）设t（x）=e^x-x-1，
则t′（x）=e^x-1，令t′（x）=0得：x=0．
在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．
∴t（x）最小值为f（0）=0，故e^x≥x+1，
取，
得，
累加得．
∴1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜•（2n）ⁿ，
故存在正整数a=2．使得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜•（an）ⁿ．
点评：本题考查满足条件的实数的最大值的求法，考查满足条件地实数的取值范围的求法，探索满足条件的实数的最小值．综合性强，难度大．解题时要认真审题，合理地运算导数性质进行等价转化．