题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的极小值为0,
.
①求的值;
②若对于任意的,
,有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调减区间为(2)①
②
【解析】
(1)首先求出导函数,利用导数与函数单调性的关系即可求解.
(2)①由已知可得,
,求出导函数
,令
,利用导数与极值的关系即可求解; ②设
,根据题意只需
成立,求出
,结合①分类讨论,若
,当
时,
,不满足,故必有
,令
,解得
,根据
与定义域
的关系进行讨论:分
或
,利用导数求出
即可求解.
解:(1)由已知得,
令,方程
无实数解,
可知对任意都有
,所以函数
的单调减区间为
,无增区间.
(2)由已知化简得,
.
①,令
,解得
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
0 | |||
极小值 |
故极小值.因为极小值为0,所以
.
②设,
根据题意,对任意的,
,有
成立,
可得.
由①可知,当时,
在
处取得最小值0,
又因为在
上递增,所以当
时,
.
若,则当
时,
,不符题意,舍去.故必有
.
令,解得
.
下面根据与定义域
的关系进行讨论:
当
,即
时,
在
上恒成立,
因此在
,
上递减,从而当
,
时,
总有,故
符合题意;
当
,即
时,可知对任意的
,
恒成立,
因此在
,
内递增.
因为,所以当
时,
,不合题意.
综上,的取值范围是
.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】(本题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:,
,
,
,
分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.
(Ⅱ)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成的列联表,并判断是否有
的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
附表:
P( | 0.100 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
,(其中
)