Question

现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中两次的概率；
(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)；
(3)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率．

Answer 1

（1）（2）（3）

(1)记：“该射手恰好命中两次”为事件A，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C，“该射手射击乙靶命中”为事件D.
由题意知，P(B)＝P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)＝P(BC)＋P(BD)＋P(CD)＝P(B)P(C)P()＋P(B)P()P(D)＋P()P(C)P(D)＝××＋××＋××＝.
(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝P()＝××＝；
P(X＝1)＝P(B)＋P(C)＝××＋××＝；
P(X＝2)＝P(BC)＋P(D)＝××＋××＝；
P(X＝3)＝P(BD)＋P(CD)＝××＋××＝；
P(X＝4)＝P(BCD)＝××＝.
故X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(3)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件A₁，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件B₁，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件B₂，则A₁＝B₁∪B₂，B₁，B₂为互斥事件．
P(A₁)＝P(B₁)＋P(B₂)＝××＋××＝.
所以，该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为.