题目内容
在平面直角坐标系中，已知A1（-3，0），A2（3，0），P（x，y），M(
，0)，O为坐标原点，若实数λ使向量
，λ
和
满足：λ2(
)2=
•
，设点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程，并判断W是怎样的曲线；
（Ⅱ）当λ=
时，过点A1且斜率为1的直线与W相交的另一个交点为B，能否在直线x=-9上找到一点C，恰使△A1BC为正三角形？请说明理由．
| x2-9 |
| A1P |
| OM |
| A2P |
| OM |
| A1P |
| A2P |
（Ⅰ）求W的方程，并判断W是怎样的曲线；
（Ⅱ）当λ=
| ||
| 3 |
分析：（Ⅰ）由已知λ2(
)2=
•
得λ2（x2-9）=x2-9+y2，即（λ2-1）x2-y2=9（λ2-1），对λ2分类讨论，即可得到结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）λ=
，
+
=1，由
可得5x2+18x+9=0，求得|A1B|=
，|A1C|＞
，即可得到结论．
| OM |
| A1P |
| A2P |
（Ⅱ）由（Ⅰ）λ=
| ||
| 3 |
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 6 |
|
12
| ||
| 5 |
12
| ||
| 5 |
解答：解：（Ⅰ）由已知λ2(
)2=
•
得λ2（x2-9）=x2-9+y2，即（λ2-1）x2-y2=9（λ2-1）…（2分）
①λ2＞1，方程为
-
=1，焦点在x轴上的双曲线
②λ2=0，圆心在原点，半径为3的圆
③0＜λ2＜1，
+
=1，焦点在x轴上的椭圆
④λ2=1，直线 y=0…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）λ=
，
+
=1
设直线A1B方程为y=x+3，由
可得5x2+18x+9=0…（10分）
∴A1（-3，0），B（-
，
）
∴|A1B|=
，
在直线x=-9上，离A1（-3，0），最短距离为6，
∴|A1C|＞
，故无法形成正三角形
∴在直线x=-9上不存在点C，恰使△A1BC为正三角形 …（12分）
| OM |
| A1P |
| A2P |
①λ2＞1，方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 9(λ2-1) |
②λ2=0，圆心在原点，半径为3的圆
③0＜λ2＜1，
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 9(1-λ2) |
④λ2=1，直线 y=0…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）λ=
| ||
| 3 |
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 6 |
设直线A1B方程为y=x+3，由
|
∴A1（-3，0），B（-
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
∴|A1B|=
12
| ||
| 5 |
在直线x=-9上，离A1（-3，0），最短距离为6，
∴|A1C|＞
12
| ||
| 5 |
∴在直线x=-9上不存在点C，恰使△A1BC为正三角形 …（12分）
点评：本题考查曲线与方程，考查分类讨论的数学思想，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
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