题目内容

在平面直角坐标系中,已知A1(-3,0),A2(3,0),P(x,y),M(
x2-9
,0)
,O为坐标原点,若实数λ使向量
A1P
λ
OM
A2P
满足:λ2(
OM
)2=
A1P
A2P
,设点P的轨迹为W.
(Ⅰ)求W的方程,并判断W是怎样的曲线;
(Ⅱ)当λ=
3
3
时,过点A1且斜率为1的直线与W相交的另一个交点为B,能否在直线x=-9上找到一点C,恰使△A1BC为正三角形?请说明理由.
分析:(Ⅰ)由已知λ2(
OM
)
2
=
A1P
A2P
得λ2(x2-9)=x2-9+y2,即(λ2-1)x2-y2=9(λ2-1),对λ2分类讨论,即可得到结论;
(Ⅱ)由(Ⅰ)λ=
3
3
x2
9
+
y2
6
=1
,由
x2
9
+
y2
6
=1
y=x+3
可得5x2+18x+9=0,求得|A1B|=
12
2
5
,|A1C|>
12
2
5
,即可得到结论.
解答:解:(Ⅰ)由已知λ2(
OM
)
2
=
A1P
A2P
得λ2(x2-9)=x2-9+y2,即(λ2-1)x2-y2=9(λ2-1)…(2分)
①λ2>1,方程为
x2
9
-
y2
9(λ2-1)
=1
,焦点在x轴上的双曲线
②λ2=0,圆心在原点,半径为3的圆
③0<λ2<1,
x2
9
+
y2
9(1-λ2)
=1
,焦点在x轴上的椭圆
④λ2=1,直线 y=0…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)λ=
3
3
x2
9
+
y2
6
=1

设直线A1B方程为y=x+3,由
x2
9
+
y2
6
=1
y=x+3
可得5x2+18x+9=0…(10分)
∴A1(-3,0),B(-
3
5
12
5

|A1B|=
12
2
5

在直线x=-9上,离A1(-3,0),最短距离为6,
∴|A1C|>
12
2
5
,故无法形成正三角形
∴在直线x=-9上不存在点C,恰使△A1BC为正三角形              …(12分)
点评:本题考查曲线与方程,考查分类讨论的数学思想,考查直线与椭圆的位置关系,属于中档题.
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