题目内容
在平面直角坐标系中,已知A1(-3,0),A2(3,0),P(x,y),M(
,0),O为坐标原点,若实数λ使向量
,λ
和
满足:λ2(
)2=
•
,设点P的轨迹为W.
(Ⅰ)求W的方程,并判断W是怎样的曲线;
(Ⅱ)当λ=
时,过点A1且斜率为1的直线与W相交的另一个交点为B,能否在直线x=-9上找到一点C,恰使△A1BC为正三角形?请说明理由.
x2-9 |
A1P |
OM |
A2P |
OM |
A1P |
A2P |
(Ⅰ)求W的方程,并判断W是怎样的曲线;
(Ⅱ)当λ=
| ||
3 |
分析:(Ⅰ)由已知λ2(
)2=
•
得λ2(x2-9)=x2-9+y2,即(λ2-1)x2-y2=9(λ2-1),对λ2分类讨论,即可得到结论;
(Ⅱ)由(Ⅰ)λ=
,
+
=1,由
可得5x2+18x+9=0,求得|A1B|=
,|A1C|>
,即可得到结论.
OM |
A1P |
A2P |
(Ⅱ)由(Ⅰ)λ=
| ||
3 |
x2 |
9 |
y2 |
6 |
|
12
| ||
5 |
12
| ||
5 |
解答:解:(Ⅰ)由已知λ2(
)2=
•
得λ2(x2-9)=x2-9+y2,即(λ2-1)x2-y2=9(λ2-1)…(2分)
①λ2>1,方程为
-
=1,焦点在x轴上的双曲线
②λ2=0,圆心在原点,半径为3的圆
③0<λ2<1,
+
=1,焦点在x轴上的椭圆
④λ2=1,直线 y=0…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)λ=
,
+
=1
设直线A1B方程为y=x+3,由
可得5x2+18x+9=0…(10分)
∴A1(-3,0),B(-
,
)
∴|A1B|=
,
在直线x=-9上,离A1(-3,0),最短距离为6,
∴|A1C|>
,故无法形成正三角形
∴在直线x=-9上不存在点C,恰使△A1BC为正三角形 …(12分)
OM |
A1P |
A2P |
①λ2>1,方程为
x2 |
9 |
y2 |
9(λ2-1) |
②λ2=0,圆心在原点,半径为3的圆
③0<λ2<1,
x2 |
9 |
y2 |
9(1-λ2) |
④λ2=1,直线 y=0…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)λ=
| ||
3 |
x2 |
9 |
y2 |
6 |
设直线A1B方程为y=x+3,由
|
∴A1(-3,0),B(-
3 |
5 |
12 |
5 |
∴|A1B|=
12
| ||
5 |
在直线x=-9上,离A1(-3,0),最短距离为6,
∴|A1C|>
12
| ||
5 |
∴在直线x=-9上不存在点C,恰使△A1BC为正三角形 …(12分)
点评:本题考查曲线与方程,考查分类讨论的数学思想,考查直线与椭圆的位置关系,属于中档题.
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