Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，侧面A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，且平面A₁ACC₁⊥平面ABC，M是C₁C的中点．
（1）求证：A₁C⊥BM；
（2）求二面角B-A₁A-C的正切值．

Answer 1

（1）证明：取AC中点P，则BP⊥AC
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BP⊥平面A₁ACC₁，
∵A₁C?平面A₁ACC₁，∴A₁C⊥BP
∵A₁C⊥AC₁，AC₁∥PM
∴A₁C⊥PM
∵BP∩PM=P
∴A₁C⊥面BPM
∵BM?面BPM
∴A₁C⊥BM；
（2）解：作PQ⊥A₁A于Q，连接BQ
∵BP⊥平面A₁ACC₁，∴A₁A⊥BP
∵BP∩PQ=P，∴A₁A⊥面BPQ
∵BQ?面BPQ，∴A₁A⊥BQ
∴∠BQP为二面角B-A₁A-C的平面角
斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，侧面A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，设AC=2，则BP=，PQ=
∴tan∠BQP==2．
分析：（1）证明A₁C⊥BM，只需证明线面垂直，即证A₁C⊥面BPM；
（2）作PQ⊥A₁A于Q，连接BQ，证明∠BQP为二面角B-A₁A-C的平面角，再求正切值即可．
点评：本题考查线线垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．