Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）单调递增，f（-1）=0，设φ（x）=sin²x+mcosx-2m，集合M={m|?x∈[0，

π

2

]，  φ(x)＜0}，N={m|?x∈[0，

π

2

] ，  f (φ (x))＜0 }，求M∩N．

Answer 1

分析：由题意，f（x）＜0，f（φ（x））＜0等价于φ（x）＜-1或0＜φ（x）＜1，由φ（x）＜-1，问题转化为：?x∈[0，

π

2

]，sin²x+mcosx-2m＜-1恒成立，通过令t=cosθ，0≤t≤1，问题转化为：t²-mt+2m-2＞0在t∈[0，1]上恒成立，求得m，然后求出M∩N．

解答：解：由题意，f（x）＜0等价于x＜-1或0＜x＜1，…2分
于是f（φ（x））＜0等价于φ（x）＜-1或0＜φ（x）＜1，…2分
从而M∩N={m|?x∈[0，

π

2

]，φ(x)＜-1}…2分
由φ（x）＜-1，问题转化为：?x∈[0，

π

2

]，sin²x+mcosx-2m＜-1恒成立．…2分
令t=cosθ，0≤t≤1，问题转化为：t²-mt+2m-2＞0在t∈[0，1]上恒成立．…2分
求得m＞4-2

2

即M∩N=(4-2

2

，+∞)…4分

点评：本题考查函数的单调性，转化思想的应用，交集的计算，考查计算能力．