题目内容
（2013•楚雄州模拟）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AC=BC=2，AA1=3，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）求点A1到面BDC1的距离．
分析：（Ⅰ）直接利用直线与平面平行的判定定理证明AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）通过等体积的方法，求解点A1到面BDC1的距离即可．
（Ⅱ）通过等体积的方法，求解点A1到面BDC1的距离即可．
解答：解：（Ⅰ）证明：连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C
的中点，∵D为AC中点∴OD∥A B1
又∵A B1?平面BDC1，OD?平面BDC1
∴A B1∥平面BDC1-----------------------（6分）
（Ⅱ）在直角三角形BDC中过点C作BD的垂线，垂足为E，连接C1E．
∵AA1⊥平面ABC，AA1∥CC1
∴CC1⊥平面ABC 又∵BD?平面ABC∴CC1⊥BD
∴BD⊥平面C1CE∴BD⊥C1E
在Rt△CBD中，BD=
=
，CE=
=
在Rt△C1CE中，C1E=
=
=
---------（10分）
∵V三棱锥B-A1DC1=V三棱锥A1-BDC1
设点A1到面BDC1的距离为h，则有S△C1BD•h=S△A1DC1•BC
所以h=
=
---------（12分）
的中点，∵D为AC中点∴OD∥A B1
又∵A B1?平面BDC1，OD?平面BDC1
∴A B1∥平面BDC1-----------------------（6分）
（Ⅱ）在直角三角形BDC中过点C作BD的垂线，垂足为E，连接C1E．
∵AA1⊥平面ABC，AA1∥CC1
∴CC1⊥平面ABC 又∵BD?平面ABC∴CC1⊥BD
∴BD⊥平面C1CE∴BD⊥C1E
在Rt△CBD中，BD=
| DC2+CB2 |
| 5 |
| BC•DC |
| BD |
| 2 | ||
|
在Rt△C1CE中，C1E=
| C1E2+CE2 |
32+
|
| 7 | ||
|
∵V三棱锥B-A1DC1=V三棱锥A1-BDC1
设点A1到面BDC1的距离为h，则有S△C1BD•h=S△A1DC1•BC
所以h=
| 3×2 | ||||||||
|
| 12 |
| 7 |
点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，点到平面的距离的距离的求法，等体积的应用，考查逻辑推理能力与计算能力，转化思想的应用．
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