题目内容
12.(理)如图所示的一块长方体木料中,已知AB=BC=4,AA1=1,设E为底面ABCD的中心,且 $\overrightarrow{AF}$=λ $\overrightarrow{AD}$(0≤λ≤$\frac{1}{2}$),则该长方体中经过点A1、E、F的截面面积的最小值为$\frac{12\sqrt{5}}{5}$.分析 根据题意,作出经过点A1、E、F的截面四边形,求出它的面积解析式,计算它的最小值即可.
解答 解:设截面为A1FMN,显然A1FMN为平行四边形,过A点作AG⊥MF与G,则MG⊥A1G,作MK⊥AD与K,
根据题意AF=4λ,则CM=DK=4λ,KF=4-8λ,MF=$\sqrt{{4}^{2}{+(4-8λ)}^{2}}$,
易知Rt△MKF∽Rt△AGF,∴$\frac{KM}{MF}$=$\frac{AG}{4λ}$,∴AG=$\frac{16λ}{MF}$,
∴A1G2=AG2+AA12=$\frac{{(16λ)}^{2}}{{MF}^{2}}$+1,
∴S截面2=MF2×A1G2=MF2×($\frac{{(16λ)}^{2}}{{MF}^{2}}$+1)=162λ2+42+(4-8λ)2
=32(10λ2-2λ+1)=320(λ-$\frac{1}{10}$)2+$\frac{144}{5}$(0≤λ≤$\frac{1}{2}$),
∴当λ=$\frac{1}{10}$时,S截面2=取得最小值$\frac{144}{5}$,此时S截面为$\frac{12\sqrt{5}}{5}$.
故答案为:$\frac{12\sqrt{5}}{5}$.
点评 本题以长方体为载体,考查了空间中的位置关系与距离的计算问题,也考查了函数的最值问题,是综合性题目.
练习册系列答案
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