Question

已知向量

a

、

b

、

c

、

d

及实数x、y满足|

a

|=|

b

|=1，

c

=

a

+(x-3)

b

，

d

=-y

a

+x

b

，若

a

⊥

b

，

c

⊥

d

且|

c

|≤

10

．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）及其定义域；
（2）若x∈[1，2]时，不等式f（x）≥mx-16恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥

b

，知

a

•

b

=0，由|

a

|=|

b

|=1，知|

c

|2=

c

•

c

=[

a

+(x-3)

b

]2=1+（x-3）²，由此能求出y关于x的函数关系式y=f（x）及其定义域．
（2）当1≤x≤2时，欲使f（x）≥mx-16恒成立，即m≤x+

16

x

-3恒成立，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0，
又|

a

|=|

b

|=1，
∴|

c

|2=

c

•

c

=[

a

+(x-3)

b

]2=1+（x-3）²，
∵|

c

|≤

10

，
∴1+（x-3）²≤10，解得0≤x≤6，
又∵

c

⊥

d

，∴

c

•

d

=0，
而

c

•

d

=[

a

+(x-3)

b

]•[-y

a

+x

b

]=-y+x（x-3），
∴-y+x（x-3）=0，
∴y=f（x）=x（x-3），其定义域为[0，6]．
（2）当1≤x≤2时，
欲使f（x）≥mx-16恒成立，
即使x²-3x≥mx-16恒成立，
∴mx≤x²-3x+16，
即m≤x+

16

x

-3恒成立，
令g（x）=x+

16

x

，
g′(x)=1-

16

x2

，
当1≤x≤2时，g′（x）＜0，
∴g（x）=x+

16

x

是减函数，
∴[g（x）]_min=g（2）=2+

16

2

=10，
∴m≤x+

16

x

-3≤10-3=7
∴m≤7．

点评：本题考查平面向量的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．