Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与圆O：x²+y²=3相切，过C的一个焦点且斜率为

3

的直线也与圆O相切．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）P是圆O上在第一象限的点，过P且与圆O相切的直线l与C的右支交于A、B两点，△AOB的面积为3

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与圆O：x²+y²=3相切，可得a=

3

，利用过C的一个焦点且斜率为

3

的直线也与圆O相切，可得c=2，从而可知b=1，故可得双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，利用圆心O到直线l的距离d=

3

，可得m²=3k²+3，联立方程，消去y可得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0，计算线AB的长，利用△AOB的面积为3

2

，即可求直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与圆O：x²+y²=3相切，
∴a=

3

，（2分）
设过C的右焦点且斜率为

3

的直线方程为y=

3

（x-c）
∵过C的一个焦点且斜率为

3

的直线也与圆O相切，
∴

| 3 c|

2

=

3

，∴c=2，
∴b²=c²-a²=1，∴b=1
∴双曲线C的方程为

x2

3

-y2=1（5分）
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，（k＜0，m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
圆心O到直线l的距离d=

m

k2+1

，由d=

3

得m²=3k²+3（6分）
由

y=kx+m x2 3 -y2=1

得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0
则x1+x2=-

6km

3k2-1

，x1x2=

3m2+3

3k2-1

（8分）
|AB|=

k2+1

•|x2-x1|=

k2+1

•

(x2+x1)2-4x1x2

=

k2+1

•

36k2m2 (3k2-1)2 - 12(m2+1) 3k2-1

=

k2+1

•

36k2(3k2+3) (3k2-1)2 - 12(3k2+4) 3k2-1

又△AOB的面积S=

1

2

|OP|•|AB|=

3

2

|AB|=3

2

，∴|AB|=2

6

（10分）
由

4 3 k2+1

|3k2-1|

=2

6

，解得k=-1，m=

6

，
∴直线l的方程为y=-x+

6

．（12分）

点评：本题考查双曲线与圆的综合，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，同时考查三角形面积的计算，综合性较强．