Question

动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f（x）表示PA的长，g（x）表示△ABP的面积．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求g（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）动点P各有不同位置，计算PA也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解．
（2）△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解．

解答：解：（1）如原题图，当P在AB上运动时，PA=x；
当P点在BC上运动时，由Rt△ABD?可得PA=

1+(x-1)2

；
当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA=

1+(3-x)2

；
当P点在DA上运动时，PA=4-x，故f（x）的表达式为：
f（x）=

x(0≤x≤1) x2-2x+2 (1＜x≤2) x2-6x+10 (2＜x≤3) 4-x(3＜x≤4)

（2）由于P点在折线ABCD上不同位置时，
如原题图，当P在线段AB上时，△ABP的面积S=0；
当P在BC上时，即1＜x≤2时，S_△ABP=

1

2

AB•BP=

1

2

（x-1）；
当P在CD上时，即2＜x≤3时，S_△ABP=

1

2

•1•1=

1

2

；
当P在DA上时，即3＜x≤4时，S_△ABP=

1

2

（4-x）．
故g（x）=

0(0≤x≤1) 1 2 (x-1)(1＜x≤2) 1 2 (2＜x≤3) 1 2 (4-x)(3＜x≤4)

．

点评：本题主要考查了分段函数式的求法，背景是动点的轨迹特征不同，线段的长及三角形的面积也会随着变化，其中蕴藏着函数的思想方法．