题目内容
14.不等式$\sqrt{1+lo{g}_{2}x}$>1-log2x的解集为( )A. | [2,+∞) | B. | (1,8) | C. | (2,+∞) | D. | (1,+∞) |
分析 先根据对数函数和二次根式,求出x的范围,再根据1-log2x与0的关系分类分别解出它们,再求并集,即可得到解集.
解答 解:$\sqrt{1+lo{g}_{2}x}$>1-log2x,
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+lo{g}_{2}x≥0}\\{x>0}\end{array}\right.$,
解得x≥$\frac{1}{2}$,
若1-log2x≤0,
即x≥2时,
不等式式恒成立,
若1-log2x>0,
即$\frac{1}{2}$≤x<2
对于$\sqrt{1+lo{g}_{2}x}$>1-log2x,两边平方,得,
1+log2x>1-2log2x+log22x,
即3log2x+log22x<0,
即log2x(log2x-3)<0,
∴0<log2x<3,
∴log21<log2x<log28,
∴1<x<8,
∴1<x<2,
综上所述x>1,
故选:D.
点评 本题考查不等式的解法,考查对数函数的单调性,考查运算能力,属于中档题和易错题
练习册系列答案
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