Question

已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay-2=0与圆x²+y²=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆

x2

8

+

y2

2

=1内部”，若命题“p且?q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求命题p，q为真命题时a的范围，再根据复合命题真值表判断，若命题“p且?q”是真命题，则命题p，￢q都是真命题，即p真q假，从而求出a的范围．
真值表进行判断．

解答：解：∵直线x+ay-2=0与圆x²+y²=1有公共点
∴

2

1+a2

≤1⇒a²≥1，即a≥1或a≤-1，
命题p为真命题时，a≥1或a≤-1；
∵点（a，1）在椭圆

x2

8

+

y2

2

=1内部，
∴

a2

8

+

1

2

＜1 即a2＜4，即-2＜a＜2，
命题q为真命题时，-2＜a＜2，
由复合命题真值表知：若命题“p且?q”是真命题，则命题p，￢q都是真命题
即p真q假，则

a≥1或a≤-1 a≥2或a≤-2

⇒a≥2或a≤-2．
故所求a的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了直线与圆的位置关系，点与椭圆的位置关系，解决的关键是求简单命题为真时a的范围．