题目内容
在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
=
，又b=
，则△ABC的面积的最大值
．
| cosC |
| cosB |
| 3a-c |
| b |
| 3 |
3
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
分析：利用正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由b及cosB的值，利用余弦定理表示出关于a与c的关系式，根据基本不等式及等式的性质得到ac的最大值，由sinB及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
解答：解：根据正弦定理得：
=
，
又
=
，
∴
=
，即sinBcosC=3sinAcosB-cosBsinC，
整理得：sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，
又A+B+C=π，即B+C=π-A，∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴sinA=3sinAcosB，又sinA≠0，
∴cosB=
，又B为三角形的内角，
∴sinB=
=
，
∵b=
，cosB=
，
∴根据余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，即3=a2+c2-
ac，
又a2+c2≥2ac，即3+
ac≥2ac，
∴ac≤
，即ac的最大值为
，
则△ABC的面积的最大值S=
acsinB=
×
×
=
．
故答案为：
| 3sinA-sinC |
| sinB |
| 3a-c |
| b |
又
| cosC |
| cosB |
| 3a-c |
| b |
∴
| cosC |
| cosB |
| 3sinA-sinC |
| sinB |
整理得：sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，
又A+B+C=π，即B+C=π-A，∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴sinA=3sinAcosB，又sinA≠0，
∴cosB=
| 1 |
| 3 |
∴sinB=
| 1-cos2B |
2
| ||
| 3 |
∵b=
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴根据余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，即3=a2+c2-
| 2 |
| 3 |
又a2+c2≥2ac，即3+
| 2 |
| 3 |
∴ac≤
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
则△ABC的面积的最大值S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
2
| ||
| 3 |
3
| ||
| 4 |
故答案为：
3
| ||
| 4 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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