题目内容

在△ABC 中，tan
C
2
=
1
2
，
AH
•
BC
=0，
AB
•(
CA
+
CB
)=0，H在BC边上，则过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为
5
+ 1
2
5
+ 1
2
．
分析：由已知中在△ABC中，tan
c
2
=
1
2
，
AH
•
BC
=0，
AB
•(
CA
+
CB
)=0，H在BC边上，我们根据向量垂直的数量积为0，及二倍角的正切公式，易得△ABC是一个顶角正切为
4
3
的等腰三角形，AH为腰上高，由此设出各边的长度，然后根据双曲线的性质及双曲线离心率的定义，即可求出答案．
解答：解：由已知中
AH
•
BC
=0可得：AH为BC边上的高
又由
AB
•(
CA
+
CB
)=0可得：CA=CB
又由 tan
c
2
=
1
2
，可得tanC=
4
3

令AH=4X，则CH=3X，AC=BC=5X，BH=2X，AB=2
5
X
则过点B以A、H为两焦点的双曲线中
2a=2（
5
-1）x，2c=4x
则过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率e=
c
a
=
4X
2(
5
-1)X
=
5
+1
2

故答案为：
5
+ 1
2
．
点评：本小题主要考查平面向量数量积的运算、导双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在地面ABC上的投影为D，给出下列命题：
①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；
②△ABC是锐角三角形；
③
1
TD2
=
1
TA2
+
1
TB2
+
1
TC2
；
④
S
2
△ABC
=
1
3
(
S
2
△TAB
+
S
2
△TAC
+
S
2
△TBC
)（注：S△ABC表示△ABC的面积）
其中正确的是
 
（写出所有正确命题的编号）．
在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D，
下列命题：①D一定是△ABC的垂心；
②D一定是△ABC的外心；
③△ABC是锐角三角形；
④
1
TD2
=
1
TA2
+
1
TB2
+
1
TC2
；
其中正确的是
①③④
①③④
（写出所有正确的命题的序号）

已知在三棱锥T-ABC中，TA,TB,TC两两垂直，T在地面ABC上的投影为D，给出下列命题：

①TA⊥BC, TB⊥AC, TC⊥AB;

②△ABC是锐角三角形;

③;

④(注：表示△ABC的面积)

其中正确的是_______(写出所有正确命题的编号)。

 

已知在三棱锥T-ABC中，TA,TB,TC两两垂直，T在地面ABC上的投影为D，给出下列命题：

①TA⊥BC, TB⊥AC, TC⊥AB;

②△ABC是锐角三角形;

③;

④(注：表示△ABC的面积)

其中正确的是_______(写出所有正确命题的编号)。

 
已知在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在地面ABC上的投影为D，给出下列命题：
①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；
②△ABC是锐角三角形；
③；
④（注：S△ABC表示△ABC的面积）
其中正确的是    （写出所有正确命题的编号）．

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