题目内容
已知在三棱锥T-ABC中,TA,TB,TC两两垂直,T在地面ABC上的投影为D,给出下列命题:①TA⊥BC,TB⊥AC,TC⊥AB;
②△ABC是锐角三角形;
③
1 |
TD2 |
1 |
TA2 |
1 |
TB2 |
1 |
TC2 |
④
S | 2 △ABC |
1 |
3 |
S | 2 △TAB |
S | 2 △TAC |
S | 2 △TBC |
其中正确的是
分析:对于①,TA,TB,TC两两垂直可得:直线TA与平面TBC垂直,从而得出:TA⊥BC,同理得到TB⊥AC,TC⊥AB;
对于问题②可以通过余弦定理解决.
对于③,在直角三角形ATE中,利用平面几何中面积相等公式及射影定理即可证得;
对于④,如图作TE⊥CB于E,连AE,则AE⊥CB.S△BCA2 =
BC2•AE2 =
BC2•(AT2+TE2)再化简即得S△BCA2=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2.
对于问题②可以通过余弦定理解决.
对于③,在直角三角形ATE中,利用平面几何中面积相等公式及射影定理即可证得;
对于④,如图作TE⊥CB于E,连AE,则AE⊥CB.S△BCA2 =
1 |
4 |
1 |
4 |
解答:解:对于①,TA,TB,TC两两垂直可得:TA⊥平面TBC,从而得出:TA⊥BC,同理得到TB⊥AC,TC⊥AB,故①正确;
②设TA=a;TB=b;TC=c,则AB2=a2+b2,同理BC2=c2+b2,Ac2=a2+c2,在三角形ABC中,由余弦定理得:cosA=
=
=
>0,同理可证cosB>0,cosC>0,所以,)△ABC是锐角三角形.
③设TA=a;TB=b;TC=c,在直角三角形TBC中,得:TE=
,
在三角形ABC中,有:AE=
由于AE×TD=TA×TE
∴
×TD=a×
,
∴a2b2c2=(a2b2+b2c2+c2a2)TD 2
∴
=
+
+
;成立
故③对
④:S△BCA2=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2.证明如下:
如图作TE⊥CB于E,连AE,则AE⊥CB.
S△BCA2 =
BC2•AE2 =
BC2•(AT2+TE2)=
(TB2+TC2)(AT2+TE2)
=
(TB2TC2 +TA2TC2+TA2TB2 )=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2,
故不对;
故答案为:①②③.
②设TA=a;TB=b;TC=c,则AB2=a2+b2,同理BC2=c2+b2,Ac2=a2+c2,在三角形ABC中,由余弦定理得:cosA=
AB 2+AC 2-BC 2 |
2AB×AC |
a 2+b 2+a 2+c 2-c 2-b 2 | ||||
2
|
a 2 | ||||
|
③设TA=a;TB=b;TC=c,在直角三角形TBC中,得:TE=
bc | ||
|
在三角形ABC中,有:AE=
| ||
|
由于AE×TD=TA×TE
∴
| ||
|
bc | ||
|
∴a2b2c2=(a2b2+b2c2+c2a2)TD 2
∴
1 |
TD2 |
1 |
TA2 |
1 |
TB2 |
1 |
TC2 |
故③对
④:S△BCA2=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2.证明如下:
如图作TE⊥CB于E,连AE,则AE⊥CB.
S△BCA2 =
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
4 |
=
1 |
4 |
故不对;
故答案为:①②③.
点评:本题考查棱锥的结构特征以及解三角形的有关理论,在立体几何中考查平面几何问题,要注意在空间的某个平面内,平面几何的有关定理、公式等结论仍然成立.本题还考查类比推理,属于中档题.
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