题目内容

已知在三棱锥T-ABC中,TA,TB,TC两两垂直,T在地面ABC上的投影为D,给出下列命题:
①TA⊥BC,TB⊥AC,TC⊥AB;
②△ABC是锐角三角形;
1
TD2
=
1
TA2
+
1
TB2
+
1
TC2

S
2
△ABC
=
1
3
(
S
2
△TAB
+
S
2
△TAC
+
S
2
△TBC
)
(注:S△ABC表示△ABC的面积)
其中正确的是
 
(写出所有正确命题的编号).
分析:对于①,TA,TB,TC两两垂直可得:直线TA与平面TBC垂直,从而得出:TA⊥BC,同理得到TB⊥AC,TC⊥AB;
对于问题②可以通过余弦定理解决.
对于③,在直角三角形ATE中,利用平面几何中面积相等公式及射影定理即可证得;
对于④,如图作TE⊥CB于E,连AE,则AE⊥CB.S△BCA2 =
1
4
BC2
•AE2 =
1
4
BC2
•(AT2+TE2)再化简即得S△BCA2=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2
解答:精英家教网解:对于①,TA,TB,TC两两垂直可得:TA⊥平面TBC,从而得出:TA⊥BC,同理得到TB⊥AC,TC⊥AB,故①正确;
②设TA=a;TB=b;TC=c,则AB2=a2+b2,同理BC2=c2+b2,Ac2=a2+c2,在三角形ABC中,由余弦定理得:cosA=
AB 2+AC 2-BC 2
2AB×AC
=
a 2+b 2+a 2+c 2-c 2-b 2
2
a 2+b 2
a 2+c 2
=
a 2
a 2+b 2
a 2+c 2
>0
,同理可证cosB>0,cosC>0,所以,)△ABC是锐角三角形.
③设TA=a;TB=b;TC=c,在直角三角形TBC中,得:TE=
bc
b2+c2

在三角形ABC中,有:AE=
a2b2b2c2c2a2
b2+c2

由于AE×TD=TA×TE
a2b2b2c2c2a2
b2+c2
×TD=a×
bc
b2+c2

∴a2b2c2=(a2b2+b2c2+c2a2)TD 2
1
TD2
=
1
TA2
+
1
TB2
+
1
TC2
;成立
故③对
④:S△BCA2=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2.证明如下:
如图作TE⊥CB于E,连AE,则AE⊥CB.
S△BCA2 =
1
4
BC2
•AE2 =
1
4
BC2
•(AT2+TE2)=
1
4
(TB2+TC2)(AT2+TE2
=
1
4
(TB2TC2 +TA2TC2+TA2TB2 )=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2
故不对;
故答案为:①②③.
点评:本题考查棱锥的结构特征以及解三角形的有关理论,在立体几何中考查平面几何问题,要注意在空间的某个平面内,平面几何的有关定理、公式等结论仍然成立.本题还考查类比推理,属于中档题.
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