题目内容
在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D，
下列命题：①D一定是△ABC的垂心；
②D一定是△ABC的外心；
③△ABC是锐角三角形；
④
=
+
+
；
其中正确的是
下列命题：①D一定是△ABC的垂心；
②D一定是△ABC的外心；
③△ABC是锐角三角形；
④
| 1 |
| TD2 |
| 1 |
| TA2 |
| 1 |
| TB2 |
| 1 |
| TC2 |
其中正确的是
①③④
①③④
（写出所有正确的命题的序号）分析：对于①，TA，TB，TC两两垂直可得：直线TA与平面TBC垂直，从而得出：TA⊥BC，同理得到TB⊥AC，TC⊥AB；
对于问题②可由①知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心．
对于问题③可以通过余弦定理解决．
对于④，在直角三角形ATE中，利用平面几何中面积相等公式及射影定理即可证得；
对于问题②可由①知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心．
对于问题③可以通过余弦定理解决．
对于④，在直角三角形ATE中，利用平面几何中面积相等公式及射影定理即可证得；
解答：
解：①选项正确理由如下：
∵T在底面ABC内的正投影为D
∴TD⊥面ABC
∴TD⊥BC
∵在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直且TB∩TC=T
∴TA⊥面TBC
∴TA⊥BC
∵TD∩TC=T
∴BC⊥面TAD
∴AD⊥BC
同理可得BD⊥AC，CD⊥AB
∴D是△ABC的垂心故①选项正确
对于问题②可由①知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心
对于③设TA=a；TB=b；TC=c，则AB2=a2+b2，同理BC2=c2+b2，AC2=a2+c2，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA=
=
＞0，同理可证cosB＞0，cosC＞0，所以△ABC是锐角三角形．故③对．
对于④设TA=a；TB=b；TC=c，在直角三角形TBC中，得：TE=
，
在三角形ABC中，有：AE=
由于AE×TD=TA×TE
∴
×TD=a×
∴a2b2c2=（a2b2+b2c2+d2c2）•TD2
∴
=
+
+
成立
故④对
故答案为①③④
解：①选项正确理由如下：
∵T在底面ABC内的正投影为D
∴TD⊥面ABC
∴TD⊥BC
∵在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直且TB∩TC=T
∴TA⊥面TBC
∴TA⊥BC
∵TD∩TC=T
∴BC⊥面TAD
∴AD⊥BC
同理可得BD⊥AC，CD⊥AB
∴D是△ABC的垂心故①选项正确
对于问题②可由①知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心
对于③设TA=a；TB=b；TC=c，则AB2=a2+b2，同理BC2=c2+b2，AC2=a2+c2，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA=
| AB2+AC2-BC2 |
| 2AB•AC |
| a2 |
| 2AB•AC |
对于④设TA=a；TB=b；TC=c，在直角三角形TBC中，得：TE=
| bc | ||
|
在三角形ABC中，有：AE=
| ||
|
由于AE×TD=TA×TE
∴
| ||
|
| bc | ||
|
∴a2b2c2=（a2b2+b2c2+d2c2）•TD2
∴
| 1 |
| TD2 |
| 1 |
| TA2 |
| 1 |
| TB2 |
| 1 |
| TC2 |
故④对
故答案为①③④
点评：本题考查棱锥的结构特征以及解三角形的有关理论，在立体几何中考查平面几何问题，要注意在空间的某个平面内，平面几何的有关定理、公式等结论仍然成立．本题还考查类比推理，属于中档题．
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;
(注：
表示△ABC的面积)
;
(注：
表示△ABC的面积)
；
（注：S△ABC表示△ABC的面积）