Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁为棱长为1，动点P，Q分别在棱BC，CC₁上，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设BP=x，CQ=y，其中x，y∈[0，1]，下列命题正确的是

 

．（写出所有正确命题的编号）
①当x=0时，S为矩形，其面积最大为1；
②当x=y=

1

2

时，S为等腰梯形；
③当x=

1

2

，y∈（

1

2

，1）时，设S与棱C₁D₁的交点为R，则RD₁=2-

1

y

；
④当y=1时，以B₁为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值

1

3

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面，再判断每一个选项是否正确．

解答： 解：对于①，当x=0时，过点A，P，Q的截面S是矩形，其面积最大是1×

2

=

2

，∴①错误；
对于②，当x=y=

1

2

时，如图所示，
过点A，P，Q的截面S是等腰梯形，∴②正确；
对于③，当x=

1

2

，y∈（

1

2

，1）时，设S与棱C₁D₁的交点为R，如图，
延长DD₁，使DD₁∩QR=N，连接AN交A₁D₁于S，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N，
可得RD₁=2-

1

y

，∴③正确；
④当y=1时，以B₁为顶点，S为底面的棱锥B₁-APC₁M如图所示，
该四棱锥的体积为VB1-APC1M=2VB1-PC1M=2VP-B1C1M
=2×

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

3

，∴④正确．

点评：本题考查了空间几何体的应用问题，解题时应根据题意，画出对应的几何图形，结合图形解答问题，是中档题目．