Question

已知函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（1）当a=-1时，求函数的单调区间；
（2）当0≤a＜

1

2

时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，然后利用导数求函数的单调区间．
（2）求函数的导数，通过讨论a的取值，确定函数f（x）的单调性．

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞），当a=-1时，f(x)=lnx+x+

2

x

-1，f′(x)=

(x-1)(x+2)

x2

，
由f'（x）＞0，解得x＞1，此时函数f（x）单调递增．
由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞），单调递减区间为（0，1]．
（2）因为f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
所以f′(x)=

1

x

-a+

a-1

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

，
令g（x）=ax²-x+1-a，（x＞0），
①若a=0，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．
②若0＜a＜

1

2

时，由f'（x）=0，解得x1=1，x2=

1

a

-1，
此时

1

a

-1＞1＞0，所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
当x∈（1，

1

a

-1）时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．
当x∈（

1

a

-1，+∞）时，g（x）＞0，此时f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
综上所述，当a=0时，函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）单调递减区间是（0，1）和[

1

a

-1，+∞），单调增区间是[1，

1

a

-1]．

点评：本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，运算量较大，综合性较强．