Question

17．解答题
（1）已知椭圆经过点（2，$\sqrt{2}$）和点（-1，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），求它的标准方程．
（2）求经过点（2，-3），且与椭圆9x²+4y²=36有共同焦点的椭圆方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为mx²+ny²=1，代入点的坐标，解方程可得m，n，进而得到椭圆方程；
（2）求得已知椭圆的焦点，设出所求椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），即有a²-b²=5，$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．

解答 解：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1，
代入点（2，$\sqrt{2}$）和点（-1，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
可得4m+2n=1，m+$\frac{7}{2}$n=1，
解得m=$\frac{1}{8}$，n=$\frac{1}{4}$，
即有椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）椭圆9x²+4y²=36即为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
焦点为（0，±$\sqrt{5}$），
可设所求椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得a²-b²=5，$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
解得a²=15，b²=10，
则所求椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{15}$+$\frac{{x}^{2}}{10}$=1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．