Question

已知a＞0，设命题p：函数f（x）=a^x在R上是增函数，q：不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，
（1）若函数y=f（x+1）恒过定点M（1，4），求a
（2）若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求复合函数f（x+1）的解析式，再将点M（1，4）代入即可解得a值
（2）先求命题P的等价命题，即a＞1，再求命题q的等价命题，即a＞

1

2

，最后由有且只有一个命题为真命题，分两种情况解不等式得a的取值范围．

解答：解：（1）∵y=f（x+1）=a^x+1恒过定点M（1，4），
∴a¹⁺¹=4，∵a＞0
∴a=2
（2）若命题p为真命题，则函数f（x）=a^x在R上是增函数，∴a＞1
若命题q为真命题，则不等式x+|x-2a|＞1的解集为R
不等式x+|x-2a|＞1变形为|x-2a|＞1-x
去绝对值符号，得，x-2a＞1-x或x-2a＜x-1
即2x＞1+2a或2a＞1
∵不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，可知2a＞1
∴a＞

1

2

∵p和q中有且只有一个命题为真命题
∴若p真q假，则a＞1且a≤

1

2

，∴a∈∅
若p假q真，则a≤1且a＞

1

2

，∴

1

2

＜a≤1
综上所述，若p和q中有且只有一个命题为真命题则

1

2

＜a≤1

点评：本题考查了复合函数的函数值的求法，命题的真假判断与集合运算之间的关系，绝对值不等式的解法