Question

已知a＞0，设命题p：函数y=a^x在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先通过指数函数的单调性求出p为真命题的a的范围，再通过构造函数求绝对值函数的最值进一步求出命题q为真命题的a的范围，分p真q假与p假q真两类求出a的范围即可．

解答：解  由函数y=a^x在R上单调递减知0＜a＜1，
所以命题p为真命题时a的取值范围是0＜a＜1，
令y=x+|x-2a|，
则y=

2x-2a       (x≥2a) 2a              (x＜2a).

不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，
只要y_min＞1即可，
而函数y在R上的最小值为2a，
所以2a＞1，
即a＞

1

2

．
即q真?a＞

1

2

．
若p真q假，则0＜a≤

1

2

；
若p假q真，则a≥1，
所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0＜a≤

1

2

或a≥1．

点评：解决复合命题的真假问题一般通过真值表将复合命题的真假问题转化为构成它的简单命题的真假来解决．