Question

【题目】已知直线： 与轴的交点是椭圆： 的一个焦点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于、两点，是否存在使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】【试题分析】（１）依据题设条件先焦半距即可获解；（２）借助题设及直线与椭圆的位置关系，运用向量的数量积公式建立方程分析求解：

（Ⅰ）因为直线： 与轴的交点坐标为

所以椭圆： 的一个焦点坐标为，

所以椭圆的焦半距，所以，

故所求的方程为．

(Ⅱ) 将直线的方程代入并整理得.

设点，则．

假设以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，则，即．

又，于是， 解得，

经检验知：此时（*）式，适合题意.

故存在，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点．