题目内容
（2012•武昌区模拟）如果复数z=cosθ+isinθ，θ∈（0，
），记n（n∈N*）个Z的积为ZN，通过验证n=2，n=3，n=4…，的结果zn，推测zn=
| π | 2 |
cosnθ+isinnθ．
cosnθ+isinnθ．
．（结果用θ，n，i表示）分析：直接利用复数的多项式的乘法展开，通过两角和的正弦函数与余弦函数化简，即可推出猜想的结果．
解答：解：由条件，复数z=cosθ+isinθ，θ∈（0，
），z1=cosθ+isinθ，
z2=（cosθ+isinθ）2=cos2θ-sin2θ+2isinθcosθ=cos2θ+isin2θ，
z3=（cosθ+isinθ）3
=（cos2θ+isin2θ）（cosθ+isinθ）
=cos2θcosθ-sin2θsinθ+i（sin2θcosθ+cos2θsinθ）
=cos3θ+isin3θ；
推测zn=cosnθ+isinnθ．
故答案为：cosnθ+isinnθ．
| π |
| 2 |
z2=（cosθ+isinθ）2=cos2θ-sin2θ+2isinθcosθ=cos2θ+isin2θ，
z3=（cosθ+isinθ）3
=（cos2θ+isin2θ）（cosθ+isinθ）
=cos2θcosθ-sin2θsinθ+i（sin2θcosθ+cos2θsinθ）
=cos3θ+isin3θ；
推测zn=cosnθ+isinnθ．
故答案为：cosnθ+isinnθ．
点评：考查复数的运算和三角变换，以及归纳推理的等数学知识，考查学生运用数学知识解决问题的能力．
练习册系列答案
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