Question

（2012•武昌区模拟）已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3，当n≥2时，a_n-1+a_n=4n；对于任意的正整数n，b1+2b2+…+2n-1bn=nan．设{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足13＜S_n＜14的n的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在a_n-1+a_n=4n中，取n=2，得a₁+a₂=8，又a₁=3，故a₂=5．同样可得a₃=7．由a_n-1+a_n=4n及a_n+1+a_n=4（n+1）两式相减可得：a_n+1-a_n-1=4，所以数列{a_n}的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而a₂-a₁=2，故{a_n}是公差为2的等差数列，故可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用b1+2b2+…+2n-1bn=nan，令n=1得b₁=a₁=3，b1+2b2+…+2nbn+1=(n+1)an+1，与b1+2b2+…+2n-1bn=nan两式相减可得：2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1-na_n=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，，从而可求{b_n}的通项公式，再利用错位相减法求和，即可得出结论．

解答：解：（Ⅰ）在a_n-1+a_n=4n中，取n=2，得a₁+a₂=8，又a₁=3，故a₂=5．
同样取n=3，可得a₂+a₃=12，∴a₃=7．（2分）
由a_n-1+a_n=4n及a_n+1+a_n=4（n+1）两式相减可得：a_n+1-a_n-1=4，
所以数列{a_n}的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而a₂-a₁=2，故{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a_n=2n+1．（5分）
（Ⅱ）在b1+2b2+…+2n-1bn=nan中，令n=1得b₁=a₁=3．（6分）
又b1+2b2+…+2nbn+1=(n+1)an+1，与b1+2b2+…+2n-1bn=nan
两式相减可得：2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1-na_n=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，
∴bn+1=

4n+3

2n

，即当n≥2时，bn=

4n-1

2n-1

经检验，b₁=3也符合该式，所以，{b_n}的通项公式为bn=

4n-1

2n-1

（9分）
Sn=3+7•

1

2

+…+(4n-1)•(

1

2

)n-1．

1

2

Sn=3•

1

2

+7•(

1

2

)2+…+(4n-5)•(

1

2

)n-1+(4n-1)•(

1

2

)n．
相减可得：

1

2

Sn=3+4[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-(4n-1)•(

1

2

)n
利用等比数列求和公式并化简得：Sn=14-

4n+7

2n-1

（11分）
可见，?n∈N₊，S_n＜14（12分）
经计算，S5=14-

27

16

＜13，S6=14-

31

32

＞13，
注意到 {b_n}的各项为正，故S_n单调递增，所以满足13＜S_n＜14的n的集合为{n|n≥6，n∈N}．（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列通项公式的求解，不等式的解法，考查转化思想，计算能力．