题目内容

已知定点A(2,0)B(2,0),曲线E上任一点P满足|PA||PB|2.

1)求曲线E的方程;

2)延长PB与曲线E交于另一点Q,求|PQ|的最小值;

3)若直线l的方程为xa(a≤),延长PB与曲线E交于另一点Q,如果存在某一位置,使得从PQ的中点Rl作垂线,垂足为C,满足PCQC,求a的取值范围。

 

1x21(x0) ;(2|PQ|min6;(3) a≤1.

【解析】

试题分析:1)由题意可知P点轨迹为双曲线,由ac求出b的值,则方程可求;

2)当直线斜率存在时,设出直线方程,和双曲线方程联立后求得判别式大于0,再由两根之和大于0,且两根之积大于0联立求得k的范围由弦长公式写出弦长,借助于k的范围求弦长的范围,当斜率不存在时直接求解;

3)由题意,|CR||PQ|。若直线PQ不垂直于x轴,由|CR|aa

a·a=-1<-1,若直线PQ垂直于x轴,这时|PQ|6|CR|2a a=-1, 综上a≤1.

试题解析:【解析】
1)由双曲线的定义得:曲线E是以AB为焦点的双曲线的右支,所以曲线E的方程为:x21(x0) 2

2)若直线PQ不垂直于x轴,设直线PQ的方程为:yk(x2)

,得(3k2)x24k2x(4k23)0 3

p(x1y1)Q(x2y2),这里x10x20

则: 得:k23 6

|PQ||x1x2|66 6

若直线PQ垂直于x轴,则直线PQ的方程为x28

这时P(23)Q(2,-3),所以|PQ|6

综上:|PQ|min6 9

3)据题意得:|CR||PQ|。若直线PQ不垂直于x轴,

|CR|aa 10

a·a=-1<-1 12

若直线PQ垂直于x轴,这时|PQ|6|CR|2a

a=-1. 13

综上a≤1. 14

考点:直线与圆锥曲线的关系.

 

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