Question

【题目】【南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟】（本小题满分14分）

在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．

（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；

（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40，

从而包装盒子的侧面积

S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)

＝－8x2＋260x，x∈(0，20)．…………………3分

因为S＝－8x2＋260x＝－8(x－)2＋，

故当x＝时，侧面积最大，最大值为平方厘米．

答：当x＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．…………………6分

（2）包装盒子的体积

V＝(a－2x)(b－2x)x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈(0，)，b≤60．……………8分

V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4x＋4x2)

＝x(3600－240x＋4x2)

＝4x3－240x2＋3600x．…………………10分

当且仅当a＝b＝60时等号成立．

设f(x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0，30)．

则f′(x)＝12(x－10)(x－30)．

于是当0＜x＜10时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，10)上单调递增；

当10＜x＜30时，f′(x)＜0，所以f(x)在(10，30)上单调递减．

因此当x＝10时，f(x)有最大值f(10)＝16000，………………12分

此时a＝b＝60，x＝10．

答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．

………………14分