题目内容
【题目】记无穷数列的前
项中最大值为
,最小值为
,令
,则称
是
“极差数列”.
(1)若,求
的前
项和;
(2)证明:的“极差数列”仍是
;
(3)求证:若数列是等差数列,则数列
也是等差数列.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【解析】
(1)由是递增数列,得
,由此能求出
的前
项和.
(2)推导出,
,由此能证明
的“极差数列”仍是
.
(3)证当数列是等差数列时,设其公差为
,
,
是一个单调递增数列,从而
,
,由
,
,
,分类讨论,能证明若数列
是等差数列,则数列
也是等差数列.
(1)解:∵无穷数列的前
项中最大值为
,最小值为
,
,
,
是递增数列,∴
,
∴的前
项和
.
(2)证明:∵,
,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴的“极差数列”仍是
(3)证明:当数列是等差数列时,设其公差为
,
,
根据,
的定义,得:
,
,且两个不等式中至少有一个取等号,
当时,必有
,∴
,
∴是一个单调递增数列,∴
,
,
∴,
∴,∴
是等差数列,
当时,则必有
,∴
,
∴是一个单调递减数列,∴
,
,
∴,
∴.∴
是等差数列,
当时,
,
∵,
中必有一个为0,
根据上式,一个为0,为一个必为0,
∴,
,
∴数列是常数数列,则数列
是等差数列.
综上,若数列是等差数列,则数列
也是等差数列.

练习册系列答案
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【题目】为了调查某大学学生的某天上网的时间,随机对名男生和
名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果:
表1:男生上网时间与频数分布表
上网时间(分钟) | |||||
人数 |
表2:女生上网时间与频数分布表
上网时间(分钟) | |||||
人数 |
(1)用分层抽样在选取
人,再随机抽取
人,求抽取的
人都是女生的概率;
(2)完成下面的列联表,并回答能否有
的把握认为“大学生上网时间与性别有关”?
上网时间少于 | 上网时间不少于 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
附: