题目内容
(本小题满分12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+ f(b)-1,并且
当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
【答案】
(1)略
(2)-1<m<
【解析】解 (1)设x1,x2∈R,且x1<x2,
则x2- x1>0,∴f(x2- x1)>1. 2分
f(x2)-f(x1)=f((x2- x1)+ x1)-f(x1)
=f(x2- x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2- x1)-1>0. 5分
∴f(x2)>f(x1).
即f(x)是R上的增函数. 6分
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,
∴f(2)=3, 8分
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2),
∵f(x)是R上的增函数,∴3m2-m-2<2, 10分
解得-1<m<,故解集为(-1,). 12分
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