题目内容

各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，且4Sn=
a
2
n
+2an+1，n∈N+．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知公比为q（q∈N+）的等比数列{bn}满足b1=a1，且存在m∈N+满足bm=am，bm+1=am+3，求数列{bn}的通项公式．
分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，结合数列{an}各项均为正数，可得数列{an}为首项为1，公差为2的等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（2）利用bm=am，bm+1=am+3，求出公比，即可求得数列{bn}的通项公式．
解答：解：（1）∵4Sn=
a
2
n
+2an+1，∴4Sn+1=
a
2
n+1
+2an+1+1，
两式相减得：4an+1=
a
2
n+1
-
a
2
n
+2an+1-2an，…（2分）
即（an+1+an）（an+1-an-2）=0
∵数列{an}各项均为正数
∴an+1-an=2，…（4分）
∴数列{an}为首项为1，公差为2的等差数列，
故an=2n-1…（6分）
（2）bn=qn-1，依题意得
qm-1=2m-1
qm=2m+5
，相除得q=
2m+5
2m-1
=1+
6
2m-1
∈N+，…（8分）
∴2m-1=1或2m-1=3，代入上式得q=3或q=7，…（10分）
∴bn=7n-1或bn=3n-1．…（12分）
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设单调递增函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y有f（xy）=f（x）+f（y），且f(
1
2
)=-1．
（1）一个各项均为正数的数列{an}满足：f（sn）=f（an）+f（an+1）-1其中Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，是否存在正数M使下列不等式：2n•a1a2…an≥M
2n+1
(2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)对一切n∈N*成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．
各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N﹡，有2Sn=2p
a
2
n
+pan-p（p∈R）．
（1）求常数p的值；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，
1
2
成等差数列，
（1）求a1，a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若bn=4-2n（n∈N*），设cn=
bn
an
，求数列{cn}的前n项和Tn．
各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且点（an，Sn）在函数y=
1
2
x2+
1
2
x-3的图象上，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=nan(n∈N*)，求证：
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜
3
4
．
（2008•长宁区二模）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和sn满足s1＞1，且6sn=（an+1）（an+2）（n为正整数）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=
an，n为偶数
2an，n为奇数
，求Tn=b1+b2+…+bn；
（3）设Cn=
bn+1
bn
，(n为正整数)，问是否存在正整数N，使得n＞N时恒有Cn＞2008成立？若存在，请求出所有N的范围；若不存在，请说明理由．

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