题目内容
如图,在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点在棱上,且满足.
(1)求证:;
(2)在棱上确定一点,使、、、四点共面,并求此时的长;
(3)求平面与平面所成二面角的余弦值.
(1)详见解析;(2);(3).
【解析】
试题分析:本题有两种方法,第一种是传统方法:(1)连接,先由正方体的性质得到,以及平面,从而得到,利用直线与平面垂直的判定定理可以得到平面,于是得到;(2)假设四点、、、四点共面,利用平面与平面平行的性质定理得到,,于是得到四边形为平行四边形,从而得到的长度,再结合勾股定理得到的长度,最终得到的长度;(3)先延长、交于点,连接,找出由平面与平面所形成的二面角的棱,借助平面,从点在平面内作,连接,利用三垂线法得到为平面与平面所形成的二面角的的平面角,然后在直角中计算的余弦值;
第二种方法是空间向量法:(1)以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,确定与的坐标,利用来证明,进而证明
;(2)先利用平面与平面平行的性质定理得到,然后利用空间向量共线求出点的坐标,进而求出的长度;(3)先求出平面和平面的法向量,结合图形得到由平面和平面所形成的二面角为锐角,最后再利用两个平面的法向量的夹角来进行计算.
试题解析:(1)如下图所示,连接,
由于为正方体,所以四边形为正方形,所以,
且平面,,
,平面,
平面,;
(2)如下图所示,假设、、、四点共面,则、、、四点确定平面,
由于为正方体,所以平面平面,
平面平面,平面平面,
由平面与平面平行的判定定理得,
同理可得,因此四边形为平行四边形,,
在中,,,,
由勾股定理得,
在直角梯形中,下底,直角腰,斜腰,
由勾股定理可得,
结合图形可知,解得;
(3)延长、,设,连接,则是平面与平面的交线,
过点作,垂足为点,连接,
因为,,所以平面,
因为平面,所以,
所以为平面与平面所成二面角的平面角,
因为,即,因此,
在中,,,
所以,
即,
因为,
所以,
所以,
所以,故平面与平面所成二面角的余弦值为.
空间向量法:
(1)证明:以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴,建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、、,
所以,,因为,
所以,所以;
(2)设,因为平面平面,
平面平面,平面平面,所以,
所以存在实数,使得,
因为,,所以,
所以,,所以,
故当时,、、、四点共面;
(3)由(1)知,,
设是平面的法向量,
则,即,
取,则,,所以是平面的一个法向量,
而是平面的一个法向量,
设平面与平面所成的二面角为,
则,
故平面与平面所成二面角的余弦值为;
第(1)、(2)问用推理论证法,第(3)问用空间向量法,
(1)、(2)给分同推理论证法.
(3)以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴,建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、、,
则,,
设是平面的法向量,
则,即,
取,则,,所以是平面的一个法向量,
而是平面的一个法向量,
设平面与平面所成的二面角为,
则,
故平面与平面所成二面角的余弦值为;
考点:1.直线与平面垂直;2.平面与平面平行的性质定理;3.利用三垂线法求二面角;4.空间向量法