题目内容
【题目】在三棱柱中,
是正三角形,
,点
在底面
上的射影
恰好是
中点,侧棱和底面成
角.
(1)求证:;
(2)求二面角的大小;
(3)求直线与平面
所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)二面角的大小为
.
(3)直线与平面
所成角为
【解析】
(1)先证明平面
,根据线面垂直的定义即可得结论;
(2)建立空间直角坐标系,分别求出平面,平面
的法向量,求出两法向量的夹角,结合图形即可求解;
(3)根据(2)求出的平面的法向量,结合直线
的方向向量,即可求解.
(1)连接,因为
为
的中点,
为正三角形,所以
,由点
在底面
上的射影为
,所以
平面
,所以
所以
平面
,又
平面
,所以
.
(2)以为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系如图.
则
因为侧棱和底面成
角,所以
,则
,设平面
的一个法向量为
,则
即
令
,则
.设平面
的一个法向量为
,则
即
令
,则
.所以
,由图可知二面角
为锐角,所以二面角
的大小为
.
(3)由(2)可知平面的法向量为
,设直线
与平面
所成角为
,所以
,所以直线
与平面
所成角为
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