题目内容
10．利用函数单调性定义证明：（1）f（x）=-x2+1在（-∞，0]上是增函数；（2）判断函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）的单调性，并求它在x∈[2，6]上的最大值与最小值．
分析 （1）根据函数f（x）=-x2+1，利用函数的单调性的定义证明f（x）在（-∞，0]上是增函数．
（2）函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$在x∈[2，6]上的单调递减，即可求它在x∈[2，6]上的最大值与最小值．
解答 解：（1）∵函数f（x）=-x2+1，设0≥x2＞x1，
f（x2）-f（x1）=（-x22+1）-（-x12+1）=（x1+x2）（x1-x2），
而由题设可知x1-x2＜0，x2+x1＜0，
∴（x1+x2）（x1-x2）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
故函数f（x）在（-∞，0]上是增函数．
（2）函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）的单调递减，
∵x∈[2，6]，∴函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$在x∈[2，6]上的单调递减，
∴最大值f（2）=2，最小值f（6）=$\frac{2}{5}$．
点评 本题主要考查函数的单调性的定义及证明方法，分式函数在闭区间上的最值，属于中档题．
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