题目内容

在数列{an}中,a1=5,an=qan-1+d(n≥2)
(1)数列{an}有可能是等差数列或等比数列吗?若可能给出一个成立的条件(不必证明);若不可能,请说明理由;
(2)若q=2,d=3,是否存在常数x,使得数列{an+x}为等比数列;
(3)在(2)的条件下,设数列{an}的前n项和为Sn,求满足Sn≥2009的最小自然数n的值.
分析:(1)因为只需要写出一个成立的条件(不必证明),就可以答:当q=1时,数列为等差数列;当d=0且q≠0时数列为等比数列
(2)直接根据q=2,d=3得到an=2an-1+3整理得到an+3=2(an-1+3)即可说明结论;
(3)先根据二的结论求出数列{an}的前n项和为Sn,再解不等式即可.(是利用验证法求解的).
解答:解:(1)当q=1时,数列为等差数列;当d=0且q≠0时数列为等比数列
(2)由已知得an=2an-1+3,所以an+3=2(an-1+3)
∴存在x=3使得{an+x}为等比数列
(3)由(2)得an=2n+2-3,
∴Sn=2n+3-3n-8,
∵Sn≥2009
即2n+3-3n-8≥2009
∴n的最小值为8
点评:本题主要考查等差数列与等比数列的综合.解决第二问的关键在于根据an=2an-1+3得到an+3=2(an-1+3),这也是数列递推关系式的应用问题.
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