题目内容

已知点P是双曲线C：左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（ ）

A．
B．2
C．
D．
【答案】分析：在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，根据三角形的中位线定理得出ON∥PF1，从而得到∠PF1F2正切值，可设PF2=bt．PF1=at，再根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a，进而根据勾股定理建立等式求得a和b的关系，则离心率可得．
解答：解：在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，
∴ON∥PF1，又ON的斜率为，
∴tan∠PF1F2=，
在三角形F1F2P中，设PF2=bt．PF1=at，
根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a，∴bt-at=2a，①
在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，②
由①②消去t，得，
又c2=a2+b2，
∴a2=（b-a）2，即b=2a，
∴双曲线的离心率是=，
故选A．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握，属于基础题．
练习册系列答案
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精英家教网已知点P是双曲线C：
x2
8
-
y2
4
=1上的动点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点O为坐标原点，则
|PF1|+|PF2|
|OP|
的取值范围是（　　）
A、[0，6]
B、（2，
6
]
C、（
1
2
，
6
2
]
D、[0，
6
2
]
（2013•婺城区模拟）已知点P是双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（　　）
已知点P是双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)上的一动点，且点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，则双曲线的离心率为（　　）
（2013•贵阳二模）已知点P是双曲线C：
x2
3
-
y2
6
=1上一点，过P作C的两条逐渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则
PA
•
PB
等于（　　）

已知点P是双曲线C：左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是(   )

A．             B．2                C．              D．

 

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