题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b=2时，若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）对于函数g（x）若存在区间[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]时，函数g（x）的值域也是[m，n]，则称g（x）是[m，n]上的闭函数．若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件．

解：（1）当x∈（0，+∞）时， $\text{[math]}$
设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，由f（x）是（0，+∞）上的增函数，则f（x₁）＜f（x₂） $\text{[math]}$
由x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞）知x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，所以b＞0，即b∈（0，+∞）
（2）当b=2时， $\text{[math]}$ 在x∈（1，+∞）上恒成立，即 $\text{[math]}$
因为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 时取等号，
$\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 在x∈（1，+∞）上的最小值为 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$
（3）因为 $\text{[math]}$ 的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），
设f（x）是区间[m，n]上的闭函数，则mn＞0且b≠0
①若0＜m＜n
当b＞0时， $\text{[math]}$ 是（0，+∞）上的增函数，则 $\text{[math]}$ ，
所以方程 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上有两不等实根，
即x²-ax+b=0在（0，+∞）上有两不等实根，所以 $\text{[math]}$ ，即a＞0，b＞0且a²-4b＞0
当b＜0时， $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上递减，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
所以a=0，b＜0
②若m＜n＜0
当b＞0时， $\text{[math]}$ 是（-∞，0）上的减函数，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
所以a=0，b＞0
当b＜0 $\text{[math]}$ 是（-∞，0）上的增函数，所以 $\text{[math]}$ 所以方程 $\text{[math]}$ 在（-∞，0）上有两不等实根，即x²+ax-b=0在（-∞，0）上有两不等实根，
所以 $\text{[math]}$ 即a＜0，b＜0且a²+4b＞0
综上知：a=0，b≠0或a＜0，b＜0且a²+4b＞0或a＞0，b＞0且a²-4b＞0．
即：a=0，b≠0或ab＞0且a²-4|b|＞0
分析：（1）先去绝对值，然后设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根据函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，则f（x₁）＜f（x₂），建立关系式，化简整理可求出b的取值范围；
（2）若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，可转化成 $\text{[math]}$ 在（1，+∞）上恒成立，求出不等式右边的最小值即，使得a小于此最小值即可；
（3）设f（x）是区间[m，n]上的闭函数，则mn＞0且b≠0，讨论m与n同正与同负两种情形，以及讨论b的正负，根据函数的单调性建立关系式，即可求出a与b满足的条件．
点评：本题主要考查了函数的单调性，以及函数恒成立和函数的值域，是一道综合题，有一定的难度．