Question

过x轴上的动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两切线AP，AQ．P，Q为切点．
（I）求切线AP，AQ的方程；
（Ⅱ）求证直线PQ过定点；
（III）若a≠0，试求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）设切点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意可得，=，由导数的几何意义可得，K_AP=2x₁
，解方程可得切点，进而可求切线方程
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，可知直线PQ的方程是y=2ax+2，直线PQ过定点（0，2）．
（Ⅲ）要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离．由引入手能够推导出•的最小值
解答：解：（I）设切点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由题意可得，=，由导数的几何意义可得，K_AP=2x₁
∴
整理可得x₁²-2ax₁-1=0，同理可得x₂²-2ax₂-1=0
从而可得x₁，x₂是方程x²-2ax-1=0的两根
∴，，
故可得切线AP方程为：，切线AQ的方程
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
则-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）
∴y₁=2x₁a+2，
同理y₂=2x₂a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）
（Ⅲ）联立可得x²-2ax-1=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
，则x₁+x₂=2a，x₁x₂=-1
∴PQ==
点A（a，0）到直线PQ的距离d=
∴=•=
∴=
令则t＞1
F（t）=，则令g（t）=F²（t）=（t＞1）
=（t＞1）
当时，函数g（t）单调递增，即F（t）单调递增
当时，函数g（t）单调递减，即F（t）单调递减
∴当t=时，函数F（t）有最小值即的最小值
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系．解决这一类型题目的常用做法是把直线方程与圆锥曲线方程联立，再结合根于系数的关系求出交点坐标之间的关系．