Question

过x轴上的动点A（a，0）的抛物线y=x²+1引两切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值；
（2）求证：直线PQ过定点；
（3）若a≠0，试求S_△APQ：|OA|的最小值．

Answer 1

分析：（I）设切点P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁），由题意可得，k_AP=

y1

x1-a

=

x12+1

x1-a

，由导数的几何意义可得，k_AP=2x₁，
∴

x1 2+1

x1-a

=2x₁，解方程可得切点，进而可求切线方程
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，可知直线PQ的方程是y=2ax+2，直线PQ过定点（0，2）．
（Ⅲ）要使

S△APQ

| PQ |

最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离d=

1

2

(

4a2+1

+

3

4a2+1

)≥

3

．由此能够推导出

S△APQ

| PQ |

的最小值．

解答：解：（I）设切点P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁）
由题意可得，k_AP=

y1

x1-a

=

x12+1

x1-a

，由导数的几何意义可得，k_AP=2x₁，
∴

x1 2+1

x1-a

=2x₁，整理可得x12-2ax1-1=0，同理可得x22-2ax2-1=0，
从而可得x₁，x₂是方程x²-2ax-1=0的两根，
∴x=a±

1+a2

，k₁=kAP=2(a+

1+a2

)，k₂=kAQ=2(a-

1+a2

)，
∴k₁•k₂=2(a+

1+a2

)•2(a-

1+a2

)=-4，
即k₁•k₂为定值-4．
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁），
则-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）
∴y₁=2x₁a+2，
同理y₂=2x₂a+2，
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．
（Ⅲ）

S△APQ

| PQ |

即A（a，0）点到PQ的距离，
要使

S△APQ

| PQ |

最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，
而A到直线PQ的距离d=

2a2+2

4a2+1

=

1

2

(

4a2+1+3

4a2+1

)=

1

2

(

4a2+1

+

3

4a2+1

)≥

3

，
当且仅当

4a2+1

=

3

4a2+1

，即a²=

1

2

时取等号，
∴

S△APQ

| PQ |

最小值为

3

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系．解决这一类型题目的常用做法是把直线方程与圆锥曲线方程联立，再结合根与系数的关系求出交点坐标之间的关系．