题目内容
如图:在四棱锥中,底面
是正方形,
,
,点
在
上,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)证明:在线段上存在点
,使
∥平面
,并求
的长.
(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
.
解析试题分析:(1)要证线面垂直,就是要证与平面
内的两条相交直线垂直,如
,虽然题中没有给出多少垂直关系,但有线段的长度,实际上在
中应用勾股定理就能证明
,同理可证
,于是可得
平面
;(2)由于在(1)已经证明了
两两垂直,因此解决下面的问题我们可以通过建立空间直角坐标系,利用空间向量法解题.以
为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,写出相应点的坐标,
,
,
,
,
,
,这样我们只要求出平面
和平面
的法向量,利用法向量的夹角与二面角相等可互补可得所求二面角大小;(3)线段
上的点
的坐标可写为
,这样若有
平面
,即
与(2)中所求平面
的法向量垂直,由此可出
,若
,说明在线段
上存在符合题意的点,否则就是不存在.
试题解析:(1)证明:,
,
,同理
2分
又,
平面
. 4分
(2)以为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,
则 6分
平面的法向量为
,
设平面的法向量为
7分
,由
,
,取
, 8分
设二面角的平面角为
,
二面角
的余弦值为
. 10分
(3)假设存在点,使
∥平面
,
令
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