题目内容

已知一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f[f（1）]=-1，若点 $数学公式$ 在曲线C上，并有a₁=1， $数学公式$
（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设 $数学公式$ ，求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜ $数学公式$ ．

解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0）（1分）
则f[f（1）]=k（k+b）+b=k²+kb+b=-1即k²+kb+b+1=0①（2分）
又 $\text{[math]}$ 是曲线C的解析式．
∵点 $\text{[math]}$ 在曲线C上，
∴ $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$ 故 $\text{[math]}$ ，代入①得b=-1
∴f（x）=x-1，f^-1（x）=x+1∴曲线C的方程是x-y+1=0（5分）

（2）由（1）知当x=n时，f^-1（n）=n+1故 $\text{[math]}$ ，而a₁=1，
于是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 3•2•1=n!（10分）

（3）∵ $\text{[math]}$
∴S_n=b₁+b₂++b_n= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）首先设设f（x）=kx+b（k≠0），代入f[f（1）]即可得k²+kb+b+1=0①；求出反函数 $\text{[math]}$ ，将点 $\text{[math]}$ 代入得f^-1（n）-f^-1（n-1）=1，又 $\text{[math]}$ ，即可得出k=1，代入①得b=-1
故可求出f（x）=x-1，f^-1（x）=x+1，进而知曲线C的方程是x-y+1=0；
（2）由（1）知当x=n时，f^-1（n）=n+1故 $\text{[math]}$ ，即可求出a_n=n!；
（3）由（2）可得 $\text{[math]}$ ，即可求出s_n=b₁+b₂++b_n=．
点评：本题主要考函数及数列的综合运用及其相关运算，属于中档题．