题目内容

已知一次函数f(x)=kx+b的图象经过点(3,1),且g(x)=x•f(x)图象关于直线x=1对称.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若x0满足g(x0)+
12
<0
,试判断g(x0+2)的符号.
分析:(1)根据一次函数f(x)=kx+b的图象经过点(3,1)可求出b与k的关系,根据g(x)=x•f(x)图象关于直线x=1对称可求出k与b的值;
(2)先求出g(x)的解析式,然后根据g(x0)+
1
2
<0
x02-2x0+
1
2
<0
,从而可判断g(x0+2)的符号.
解答:解(1)由已知3k+b=1…(4分)
∴b=1-3k(k≠0),∴f(x)=kx+1-3k,g(x)=kx2+(1-3k)x.
∵g(x)=x•f(x)图象关于直线x=1对称,
∴-
1-3k
2k
=1,…(7分)
∴k=1.∴f(x)=x-2.…(8分)
(2)由(1)g(x)=x2-2x,g(x0)+
1
2
<0
,即x02-2x0+
1
2
<0
…(12分)
所以2x0x02+
1
2

g(x0+2)=(x0+2)2-2(x0+2)=x02+2x0x02+x02+
1
2
>0

即g(x0+2)的符号为正号.…(14分)
注:(2)若由g(x0)+
1
2
=0
x0=
3
2
给(4分),猜想出为正给(2分),其他方法相应给分.
点评:本题主要考查了二次函数的对称轴,以及函数值符号的判定,同时考查了运算求解的能力,属于中档题.
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