Question

【题目】已知集合，其中 . 表示 中所有不同值的个数.

（Ⅰ）若集合，求；

（Ⅱ）若集合，求证： 的值两两不同，并求；

（Ⅲ）求的最小值.（用含的代数式表示）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）从任取两个数相加，共有个不同的值，所以；（Ⅱ）对于集合中的和式， .分两种情况时， 时， ，当时，不妨设，则，即的值两两不同，利用组合知识可得；（Ⅲ）不妨设，可得， 中至少有个不同的数，即.

试题解析：（Ⅰ）从任取两个数相加，共有个不同的值，所以

（Ⅱ）形如和式 共有项，所以.

对于集合中的和式， ：

当时， 时， ；

当时，不妨设，则.

所以 的值两两不同.

且.

（Ⅲ）不妨设，可得

.

中至少有个不同的数.

即.

设成等差数列， ，

则对于每个和式 ，其值等于（）或

中的一个.去掉重复的一个,

所以对于这样的集合, .

则的最小值为.