Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S=a₁+a₂+…+a_n+…若对任意正整数n，kS≤S_n恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析：（1）3a_n+1+2s_n=3，3a_n+2s_n-1=3，两式相减，得3a_n+1-3a_n+2（S_n-S_n-1）=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）S=

lim

n→∞

Sn=

a1

1-q

=

3

2

，由此能求出k的最大值．

解答：解：（1）由题设条件得
3a_n+1+2s_n=3，3a_n+2s_n-1=3
两式相减，得3a_n+1-3a_n+2（S_n-S_n-1）=0，
即an+1=

1

3

an，n＞1 又a2=

1

3

，
所以通项为：an=(

1

3

)n-1．
（2）S=

lim

n→∞

Sn=

a1

1-q

=

3

2

，
要kS≤Sn恒成立，由于Sn递增
所以只要kS=S₁，即k的最大值为

2

3

．

点评：本题考查数列的递推式和数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式和数列的综合应用．